Equazioni e sistemi

Esercizio 1

Risolviamo un' equazione di primo grado in Z5

3x+4=x+2 sommiamo l'opposto di 4 che è 1 ad entrambi i membri ... primo principio di equivalenza delle equazioni ... otteniamo:

3x+4+1=x+2+1 da cui otteniamo

3x=x+3 l'effetto è quello di avere, al primo membro solamente termini contenenti l'incognita x, sommiamo l'opposto di x che è 4x ad entrambi i membri ... primo principio di equivalenza delle equazioni ... otteniamo:

3x+4x=x+3+4x otteniamo: 2x=3 l'effetto è quello di avere, al secondo membro solamente termini noti,

moltiplichiamo entrambi i membri per il reciproco di 2 che è 3 ... secondo principio di equivalenza delle equazioni ... otteniamo:

x=4 che è la soluzione

verifica: 3*4+4=4+2 ... 2+4=4+2 ... 1=1


Esercizio 2

Risolviamo un sistema di primo grado in Z5 costituito dalle due equazioni di sotto.

y=x

Y=3x+2

Risolviamo il sistema per sostituzione:

x=3x+2 aggiungo 2x: 2x+x=3x+2+2x otteniamo: 3x=2 moltiplichiamo per 2: x=4 risostituendo: y=4, la soluzione è: (4,4).

In figura la soluzione grafica.


Si noti che le soluzioni della prima è l'insieme delle coppie ordinate:(0,0), (1,1), 2,2), (3,3), (4,4), le soluzioni della seconda: (0,2), (1,0), (2,3), (3,1), (4,4), la coppia (4,4) che appartiene all'intersezione è quindi la soluzione del sistema.

Risolviamo un' equazione di secondo grado in R(+,*)

x2+2x+4=0

Δ=b2-4ac

Δ=22-4*1*4 =-8 impossibile

Risolviamo l'equazione x2+2x+4=0

in Z7 Δ=b2-4ac

Δ=22-4*1*4=4-16=-12=2 infatti -12≡-5 e -5≡2

x1,2= (-b±√Δ)/2a

x1,2=(-2±√2)/(2*1) Notiamo che, in Z7 non c'è il numero -2, ma se andiamo, rispetto all'ora zero, indietro di due ore allora troviamo l'ora 5, cioè il numero -2 equivale al cinque. Come fare la radice quadrata di 2? Bisogna determinare quel numero che elevato al quadrato dà due. Il numero cercato è 3 perche 32=9, che è equivalente a due.

x1=(5+3)/2=1/2 il numero 1/2 equivale al reciproco di 2 che in Z7=4, quindi x1=4, x2=(5-3)/2=2/2=1.

Verifica:

con x1=4

42 + 2*4+4=0, 16+8+4=0, 2+1+4=0, 7 = 0

con x2=1, 122+2*1+4=0, 1+2+4=7, 7=0

Risolviamo un'equazione di secondo grado in Z8

x2+2x+4=0

In Z8 non c'è reciproco per ogni elemento quindi non si possono determinare le soluzioni usando il reciproco. Allora come si procede? Visto che in Z8 ci sono solo 8 elementi si fanno 8 verifiche: e si nota che l'equazione è impossibile. Sempre in Z8 un'equazione potrebbe avere anche più di due soluzioni come si può notare dall'esempio: x2+2x=0 anche in questo caso non essendo 8 un numero primo si fanno 8 verifiche e si nota che ci sono ben 4 soluzioni: 0, 2, 4, 6.

Quindi quando risolviamo equazioni in Zn se n non è numero primo non c'è reciproco e possono succedere delle stranezze rispetto alle equazioni che hanno soluzioni in R che ha la struttura di campo. Quando invece n è numero primo la struttura algebrica è quella di campo e il numero massimo di soluzioni corrisponde al grado dell'equazione stessa.

Risolviamo un sistema di secondo grado in Z7 costituito dalle due equazioni di sotto.

y=2x

y=x2+3x+5

Risolviamo il sistema per sostituzione:

x2+3x+5=2x sommiamo 5x: x2+x+5=0

Δ=1-4*5=1+3*5=16 ≡ 2

x1,2=(-1±√2)/2

x1=2/2=1 y1=2*1=2

x2=(6+4)/2=5 y2=2*5=3

quindi ci sono le due soluzioni (1,2) e (5,3).

In figura la soluzione grafica.


Si noti che le soluzioni della prima è l'insieme delle coppie ordinate: (0,0), (1,2), 2,4), (3,6), (4,1), (5,3), (6,5), le soluzioni della seconda: (0,5), (1,2), (2,1), (3,2), (4,5), (5,3), (6,3), le coppie (1,2) e (5,3), che appartengono all'intersezione, costituiscono quindi le soluzioni del sistema.

esercizi

  1. In Z11, risolvere l'equazione 2x+9=3x+3.
    [6]

  2. In Z5, risolvere l'equazione 2x+2=x+3.
    [1]

  3. In Z11, risolvere l'equazione x2+2x+9=0.
    [4,5]

  4. In Z7, risolvere l'equazione x2+2x+6=0.
    [2,3]

  5. In Z7, risolvere l'equazione x2+x+5=0.
    [1,5]

  6. In Z7, risolvere l'equazione x2+2x+2=0.
    [impossibile]

  7. In Z7, risolvere l'equazione 3x2+2x+2=0.
    [1,3]

  8. In Z8, risolvere l' equazione: 2x+2=0, tenendo conto che 8 non è numero primo.
    [3,7]

  9. In Z7, risolvere, sia analiticamente che graficamente il sistema composto dalle seguenti equazioni: y=2x+1, y=5x+3.
    [(4,2)]

  10. In Z5, risolvere, sia analiticamente che graficamente il sistema composto dalle seguenti equazioni: y= x2+1, y=2x+3.
    [sistema impossibile]

  11. In Z11, risolvere, sia analiticamente che graficamente il sistema composto dalle seguenti equazioni: y= x2+3x+5, y=2x.
    [(1,2);(5,3)]

  12. In Z11, risolvere, sia analiticamente che graficamente il sistema composto dalle seguenti equazioni: y= 2x2+x+2, y=2x.
    [sistema impossibile]

  13. In Z7, risolvere, sia analiticamente che graficamente il sistema composto dalle seguenti equazioni: y= 2x+1, y=2x+3.
    [sistema impossibile]

  14. In Z11, risolvere, sia analiticamente che graficamente il sistema composto dalle seguenti equazioni: y= 2x2+x+2, y=6x.
    [(6,3);(2,1)]

  15. In Z11, risolvere, sia analiticamente che graficamente il sistema composto dalle seguenti equazioni: y= x2, y=3x+1.
    [sistema impossibile]

  16. In Z11, risolvere, sia analiticamente che graficamente il sistema composto dalle seguenti equazioni: y= 2x2+x, y=x+1.
    [sistema impossibile]

  17. In Z11, risolvere, sia analiticamente che graficamente il sistema composto dalle seguenti equazioni: y= 5x+7, y=2x.
    [(5,10);]

  18. In Z11, risolvere, sia analiticamente che graficamente il sistema composto dalle seguenti equazioni: y= x2, y=3x+1.
    [sistema impossibile]

  19. In Z5, risolvere, sia analiticamente che graficamente il sistema composto dalle seguenti equazioni: y= 2x+1, y=3x+2.
    [(4,4)]

  20. In Z7, risolvere, sia analiticamente che graficamente il sistema composto dalle seguenti equazioni: y=x, y=5x+3.
    [(1,1)]

  21. In Z11, risolvere, sia analiticamente che graficamente il sistema composto dalle seguenti equazioni: y= 3x+3, y=2x+3.
    [(0,3)]

  22. In Z11, risolvere, sia analiticamente che graficamente il sistema composto dalle seguenti equazioni: y= x+2, y=2x.
    [(2,4)]

  23. In Z11, data la funzione y=f(x)=5x+8 determinare l'espressione analitica della funzione inversa, quindi graficare,sullo stesso sistema di riferimento, sia la f che la fi.
    [fi=9x+5]

  24. In Z11, data la funzione y=f(x)=6x+3 determinare l'espressione analitica della funzione inversa, quindi graficare,sullo stesso sistema di riferimento, sia la f che la fi.
    [fi=2x+5]

  25. In Z11, data la funzione y=f(x)=5x+2 determinare l'espressione analitica della funzione inversa, quindi graficare,sullo stesso sistema di riferimento, sia la f che la fi.
    [fi=9x+4]