Coordinate cartesiane

Per individuare un punto su una retta va fissato innanzitutto il verso di percorrenza. Il verso normalmente, se la retta è orizzontale, va da sinistra verso destra, se è verticale va dal basso verso l'alto. Va fissata inoltre un'origine e va precisata l'unità di misura. Va creata quindi una corrispondenza biunivoca tra punti della retta e numeri reali in modo che ad ogni punto della retta sia associata la sua distanza dall'origine. L'origine deve corrispondere con lo zero e i punti associati ai numeri positivi, sono quelli che seguono l'origine, quelli associati ai numeri negativi precedono l'origine.



Le coordinate sul piano

Come detto, i punti della retta sono in corrispondenza biunivoca con un numero reale, nel caso del piano ogni punto può essere messo in corrispondenza biunivoca ad una coppia ordinata di numeri reali. Per individuare un punto nel piano si fa uso di un sistema di riferimento composto da due rette perpendicolari, una orizzontale ed una verticale.

L'origine del sistema di riferimento corrisponde all'intersezione delle due rette che si chiamano rispettivamente, l'asse delle orizzontali: asse delle ascisse o asse delle "x" e l'asse delle verticali: asse delle ordinate o asse delle "y".

Fissata l'unità di misura, in generale la stessa per entrambi gli assi, per esempio il punto E può essere messo in corrispondenza biunivoca con la coppia ordinata (5;6), infatti il punto si trova all'incrocio della verticale condotta dal punto 5, con l'orizzontale condotta dal punto 6. I valori 5 e 6 sono chiamati rispettivamente ascissa ed ordinata del punto E. Tale sistema di riferimento è detto riferimento cartesiano ortogonale.



La distanza sulla retta

La distanza tra due punti A e B su una retta, che indicheremo con d(A,B), corrisponde alla lunghezza del segmento AB. La distanza tra due punti A, B deve corrispondere quindi, ad un numero reale positivo. Conoscendo le coordinate dei due punti A e B, per individuare la misura del segmento AB va fatta la sottrazione tra il valore maggiore e quello minore tra le due coordinate. Per esempio per determinare la distanza tra A(-3) e B(2) si esegue la sottrazione 2-(-3)=5 quindi d(A,B)=5. Più in generale, per scrivere una formula che rimanga comunque valida senza dover distinguere quale tra i due valori è il maggiore si introduce nella formula della distanza il valore assoluto ovvero: d(A,B)=|xA-xB|



La distanza sul piano

La distanza nel piano è una applicazione che associa ad ogni coppia di punti del piano un valore reale che per ogni terna A,B,C di punti soddisfa alle seguenti proprietà:

la 3. viene detta proprietà simmetrica, la 4. disuguaglianza triangolare.



Lunghezza del segmento

Si vuol determinare la lunghezza del segmento AB ovvero la distanza tra due punti A e B rispettivamente di coordinate:

A(xA;yA)

B(xB;yB).

Si applichi il teorema di pitagora al triangolo ABC

Siccome d(A,C)=|yA-yB| e d(B,C)=|xA-xB| si sostituisce ottenendo:

Si noti ancora che scrivere (xA-xB)2 o (xB-xA)2 è la stessa cosa.



Il punto medio di un segmento

Dati due punti A, B su una retta indichiamo con M il punto medio del segmento AB. Il punto M è quindi quel punto tale che d(A,M)=d(B,M). Le coordinate del punto A sono indicate con xA, yA e quele del punto B con xB, yB. Il problema che ci si pone, è determinare le coordinate di M. I due triangoli AFM e MHB sono uguali per il secondo principio di uguaglianza. Infatti il lato AM è uguale al lato MB, l'angolo FAM è uguale all'angolo HMB e l'angolo FMA è uguale all'angolo HBM. Da ciò ne consegue che il lato FM è uguale al lato HB. Il segmento FM è uguale al segmento xAxM in quanto costituiscono i lati opposti del un rettangolo, per lo stesso motivo, il segmento HB è uguale al segmento xMxB. Per la proprietà transitiva dell'uguaglianza i due segmenti xAxM, xMxB sono uguali ovvero xM risulta punto medio del segmento xAxB. La distanza d(A,B) è data dalla differenza tra la coordinata maggiore B e quella minore A ovvero xB-xA. La distanza d(xA,M) sarà data quindi dalla (xB-xA)/2. Per determinare quindi l'ascissa di M si dovrà sommare alla coordinata di A, che è il valore minore la d(A,M), oppure si dovrà sottrarre alla coordinata di B, che è il valore maggiore la d(A,M) ovvero:


ponendo il minimo comune multiplo si ottiene:


e semplificando:

Analogamente si dimostra che yM è punto medio del segmento yAyB quindi: yM=(yA+yB)/2