Giochi d'azzardo

La dedizione ossessiva a slot machine, videopoker e gratta e vinci sottrae agli italiani molte risorse e provoca una serie di gravi problemi. Lo Stato, che comunque incassa le tasse, si ritrova a pagare elevati costi socio-sanitari per la cura dei ludopatici. L'indebitamento dei giocatori patologici favorisce inoltre, l'usura e l'adescamento da parte della criminalità di giocatori malati. Senza dimenticare questo, nelle prossime righe ci occuperemo, solo ed esclusivamente, del calcolo delle probabilità legato a due giochi quali il poker e i dadi.

---

Calcolo delle probabilità: definizioni

Prova è l'esecuzione di un esperimento.

U, insieme universo delle probabilità, associato ad un dato esperimento, è l'insieme dei risultati possibili.

Evento è un insieme di risultati possibili, ovvero un sottoinsieme di U.

Evento elementare è sottoinsieme di U con un solo elemento.

Evento certo, è quello che si realizza sempre.

Evento impossibile, è quello che non si realizza mai.

Esempio

Prova: lancio di 8 monete

U insieme universo: (9 risultati possibili): 8 teste; 7 teste 1 croce; 6 teste 2 croci; 5 teste 3 croci; 4 teste 4 croci; 3 teste 5 croci; 2 teste 6 croci; 1 testa 7 croci; 8 croci.

Evento: escono almeno 2 teste.

Evento elementare: escono 2 teste e 6 croci.

Evento certo: escono al massimo 8 teste.

Evento impossibile: escono almeno 9 teste.

---

Concezione frequentistica

Si esegue un grande numero di prove. Per esempio si fanno 10000 lanci con 8 monete e si conta la frequenza assoluta, ovvero gli "n" casi in cui sono uscite 2 teste e 6 croci, quindi si calcola la probabilità attraverso il rapporto n/10000. In questo modo la probabilità assume l'aspetto di frequenza relativa.

---

Concezione classica

La probabilità è uguale al rapporto tra i casi favorevoli ad un certo evento E ed i casi possibili pensati come egualmente probabili. Per esempio se l'esperimento è il lancio di 8 monete, il numero dei casi possibili è 2⁸=256. Se l'evento è: uscita di 2 teste e 6 croci, il numero dei casi favorevoli è 28, ossia il numero che si trova nel ottava riga, seconda diagonale del triangolo di Tartaglia Pascal. La probabilità quindi che lanciando 8 monete, escano 2 teste e 6 croci è: P(E)=28/256. Si tenga presente che la probabilità è un numero razionale compreso tra 0 e 1 ovvero 0≤P(E)≤1.

Nella tabella sono riportati i grafici della frequenza relativa e della probabilità dell'esperimento: lancio di otto monete. Tramite il foglio elettronico (con la variabile "casuale") si sono simulati 500 lanci di otto monete e si è conteggiato (con la funzione "conta.se") il numero di volte che si è verificato l'evento: 0 teste 8 croci, 1 testa 7 croci, 2 teste 6 croci, 3 teste 5 croci, 4 teste 4 croci, 5 teste 3 croci, 6 teste 2 croci, 7 teste 1 croce, 8 teste 0 croci. La frequenza relativa si è calcolata dividendo la frequenza assoluta per 500. Per il calcolo della probabilità invece i casi possibili sono i numeri della ottava riga del triangolo: 1, 8, 28, 56, 70, 56, 28, 8, 1, i casi possibili sono 2⁸=256.

La probabilità è stata calcolata quindi: P(E)=casi possibili/casi favorevoli. Se avessimo fatto la simulazione di 10000 lanci i due grafici sarebbero risultati praticamente sovrapposti. Si noti ancora che si tratta di grafici a "campana" con picco sull'evento 4 teste e 4 croci che ovviamente è il più probabile. Però c'è da sottolineare che non tutti gli eventi sono ripetibili; ad esempio, una partita di pallacanestro di cui vogliamo calcolare la probabilità della vittoria della squadra X contro la squadra Y.

La definizione di probabilità applicabile ad esperimenti casuali i cui eventi elementari non siano ritenuti ugualmente possibili e che non siano necessariamente ripetibili più volte sotto le stesse condizioni è dovuta ad Bruno de Finetti.
Bruno De Finetti, che ha insegnato matematica anche all'università degli studi di Trieste, dove c'è un'aula a lui dedicata, ha proposto la concezione soggettiva della probabilità.

---

Concezione soggettiva

La definizione di probabilità applicabile ad esperimenti casuali i cui eventi elementari non siano ritenuti ugualmente possibili e che non siano necessariamente ripetibili più volte sotto le stesse condizioni è dovuta ad Bruno de Finetti. Bruno De Finetti, che ha insegnato matematica anche all'università degli studi di Trieste, dove c'è un'aula a lui dedicata, ha proposto la concezione soggettiva della probabilità.

Definizione di probabilità in senso soggettivo: la probabilità di un evento è il prezzo che un individuo ritiene equo pagare per ricevere 1 se l'evento si verifica, 0 se l'evento non si verifica.

Esempio: se penso che le probabilita' di vincita in una partita di pallacanestro della squadra X contro la squadra Y siano del 60%, devo essere disposto a puntare 60 euro, sulla sua vincita, per riceverne 100 in caso di vittoria e perdendo tutto in caso di sconfitta. E' fondamentale, che devo avere il maggior numero di informazioni possibili e, tramite esse, devo attribuire determinate probabilita' a determinati eventi. Nel caso specifico devo sapere come sono in classifica, chi gioca in casa, se ci sono giocatori assenti per infortunio, qual'è lo stato di forma delle due squadre ecc.. ecc..

---

Il gioco del poker all'americana

Si pratica con tutte le 52 carte e con un numero qualsiasi di giocatori.

Calcoliamo tutte le probabilità pensando di avere in mano cinque carte scelte a caso dal mazzo.

Applichiamo ovviamente la formula: P(E) = casi favorevoli/casi possibili.

Il numero di casi possibili é: C(52,5) = 2.598.960 infatti bisogna determinare il nimero di sottoinsiemi di 5 elementi in un insieme di 52.
Partiamo dagli eventi meno probabili:

Scala reale

I casi favorevoli per "fare" scala reale sono:

A 2 3 4 5

2 3 4 5 6

3 4 5 6 7

4 5 6 7 8

5 6 7 8 9

6 7 8 9 10

7 8 9 10 J

8 9 10 J Q

9 10 J Q K

10 J Q K A.

Sono dunque 10 le possibili scale che vanno moltiplicate per il numero dei semi per ottenere i casi favorevoli ovvero 40. La probabilità è quindi:

p(E) = 40/2.598.960 = 0,000015

Poker

Sono 13 i possibili modi di fare poker, questo numero va moltiplicato per il numero che si ottiene sottraendo a 52, che è il numero totale delle carte, le carte usate per il poker. Si moltiplica quindi 13 per 48 che sono i diversi modi di scegliere la quinta carta, la probabilità sarà quindi:

p(E) = 13*48/2.598.960 = 624/2.598.960 = 0,00024

Full

Il tris si può fare in 13 modi diversi moltiplicati per C(4,3), la coppia in 12 moltiplicando per C(4,2) e dividiamo poi per i casi possibili:

p(E) = 13*12*C(4,3)*C(4,2)/2.598.960 = 52*72/2.598.960 = 3.744/2.598.960 = 0.0014

Colore

Moltiplicando i modi in cui si possono scegliere 5 carte in un insieme di 13 carte per i 4 semi e sottraendo alla moltiplicazione il numero 40, che rappresenta tutte le possibili scale reali, si ottengono i casi favorevoli:

p(E) =(C(13,5)*4-40)/2.598.960 = 5.108/2.598.960 = 0,0019

Scala semplice

Le scale sono 10, ciascuna delle carte della scala può essere scelta in 4 modi e quindi si moltiplica ancore per il numero 4 elevato alla quinta, infine si sottrae il numero di scale reali che sono 40:

p(E) = (10*4⁵-40)/2.598.960 = 10.200/2.598.960 = 0,0039

Tris

Il tris può essere scelto in 13 modi diversi, questo numero va moltiplicato per C(4,3) che rappresenta i sottoinsiemi di 3 carte in un insieme di 4 carte poi si moltiplica per i modi in cui si possono scegliere le rimanenti due carte in un insieme di 12 moltiplicando quindi due volte per 4,cioè i modi in cui si possono scegliere quelle 2 carte:

p(E) = (13*C(4,3)*C(12,2)*4²)/2.598.960 =(13*4*66*16)/2.598.960 = 54.912/2.598.960 = 0,021

Doppia coppia

I casi favorevoli della doppia coppia si ottengono moltiplicando il numero di modi in cui si possono scegliere le due carte con cui fare le 2 coppie ovvero 2 carte in un insieme di 13, moltiplicando questo numero per i modi con cui posso scegliere 4 carte in un insieme di 2, per due volte, dato che le coppie sono 2, moltiplicando ancora il tutto per 44, cioè il numero totale delle carte meno le 8 le utilizzate per le due coppie:

p(E)= (C(13,2)*C(4,2)*C(4,2)*44)/2.598.960 = 78*6*6*44/2.598.960 = 123.552/2.598.960 = 0,047

Coppia

Per calcolarne la probabilità si procede moltiplicando il numero delle carte per seme che sono 13, per i modi con cui si possono scegliere 2 carte in un insieme di 4 e, poi per scegliere le ultime 3 carte facendo in modo che siano diverse tra loro per cui si devono conteggiare i sottoinsiemi di 3 carte in un insieme di 12 ovvero le carte per seme meno quella usata per la coppia, moltiplicando quindi tre volte per 4 poichè ognuna delle restanti tre carte si possono scegliere in 4 modi:

p(E)=13*C(4,2)*C(12,3)*4³/2.598.960 = 1.098.240/2.598.960 = 0,422

---

Il poker classico

Si pratica in 4 giocatori con 32 carte cioè 7, 8, 9, 10, J, Q, K, A. Se il numero di giocatori non è 4, ma 3 o 5 allora la carta più bassa è quella risultante dalla differenza fra 11 e il numero dei giocatori.

Il numero di casi possibili é: C(32,5) = 201.376.
Partiamo dagli eventi meno probabili:

Scala reale

Le possibili combinazioni per avere una scala reale sono:

A 7 8 9 10

7 8 9 10 J

8 9 10 J Q

9 10 J Q K

10 J Q K A

Ovvero le scale sono 5 che moltiplicato per 4, che rappresenta il numero dei semi, dà i casi favorevoli che sono 20, la probabilità di avere una scala reale sono:

20/201.376 = 0,00009 = 0,009%

Colore

Le probabilità del colore si ottengono moltiplicando i modi in cui si possono scegliere 5 carte in un insieme di 8 elementi, poi moltiplicando il numero per 4 cioè il numero dei semi e sottraendo al tutto 20, cioè le possibili scale reali:

((C(8,5)*4)-20)/201.376 = (224-20)/201.376 = 204/201.376 = 0,00101

Poker

Moltiplico le carte per seme che sono 8, per il numero totale delle carte del mazzo meno le carte usate per il poker che sono 4 e divido tutto per i casi possibili:

8*28/201.376 = 224/201.376 = 0,00111 = 0,11%

Full

Il tris lo posso fare in 8 modi, questo numero va moltiplicato per 7 che sono i modi secondo cui posso fare la coppia, si moltiplica ancora per i modi in cui si possono scegliere 3 carte in un'insieme di quattro, cioè il tris e poi i modi in cui si possono scegliere 2 carte in un'insieme di 4, per la coppia:

(8*7*C(4,3)*C(4,2))/201.376 = 1.344/201.376 = 0,0066

Scala semplice

Le scale sono 5, ciascuna delle carte della scala può essere scelta in 4 modi e quindi si moltiplica ancore per il numero 4 elevato alla quinta, infine si sottrae il numero di scale reali che sono 20:

(5*4⁵-20)/201.376 = 5.100/201.376 = 0,025

Tris

Basta moltiplicare le carte per seme per i modi in cui si possono scegliere le tre carte del tris in un'insieme di 4 elementi e poi i modi in cui si possono scegliere le ultime due carte nelle carte rimanenti, ovvero 7 e poi moltiplicando ancora per quattro al quadrato, che sono i modi in cui si possono scegliere le 2 carte nei diversi semi:

8*C(4,3)C(7,2)*4²/201.376 = 8*4*21*16/201.376 = 10.752/201.376 = 0,053

Doppia coppia

La probabilità della doppia coppia si ottiene moltiplicando il numero di modi in cui si possono scegliere le due carte con cui fare le 2 coppie ovvero 2 carte in un insieme di 8, moltiplicando questo numero per i modi con cui posso scegliere 4 carte in un insieme di 2, per due volte, dato che le coppie sono 2, moltiplicando ancora il tutto per 24, cioè il numero totale delle carte meno le 8 le utilizzate per le due coppie, dividendo tutto per i casi possibili:

(C(8,2)*C(4,2)*C(4,2)*24)/201.376 = 28x6x6x24/201.376 = 24.192/201.376 = 0,12

Coppia

Per calcolarne la probabilità si procede moltiplicando il numero delle carte per seme che sono 8, per i modi con cui si possono scegliere 2 carte in un insieme di 4 e, poi per scegliere le ultime 3 carte facendo in modo che siano diverse tra loro per cui si devono conteggiare i sottoinsiemi di 3 carte in un insieme di 7 ovvero le carte per seme meno quella usata per la coppia, moltiplicando quindi tre volte per 4 poichè ognuna delle restanti tre carte si possono scegliere in 4 modi:

8*C(4,2)*C(7,3)*4³/201.376 = 8*6*35*64/201.376 = 107.520/201.376 = 0,53

Si può notare quindi, analizzando i calcoli fatti sotto, quella che può sembrare una contraddizione, ovvero che, nel gioco classico, il poker è più probabile del colore. Il motivo per cui il colore vale meno del poker è dovuto al fatto che la scala di valori viene costruita in base alla probabilità del gioco all'americana dove, giocando con 52 carte le probabilità sono diverse.

---

Il gioco dei dadi