Relazioni trigonometriche
La trigonometria, dal greco trìgonon (triangolo) e metròn (misura), è la parte della matematica dedicata allo studio delle relazioni intercorrenti tra gli elementi dei triangoli. Per "elementi" di un triangolo si intendono lati ed angoli. In pratica il problema è quello di calcolare le misure degli elementi di un triangolo avendo come dati iniziali tre misure note, di cui almeno una sia la lunghezza di un lato. Tale problema è indicato come risoluzione del triangolo. Per risolvere i triangoli ci si serve delle funzioni trigonometriche, con le relative funzioni inverse, a tal proposito si veda grafici delle funzioni goniometriche. Saranno pure indispensabili i teoremi dei seni e del teorema del coseno. Nei problemi che seguono faremo sempre riferimento ad un triangolo come quello di sotto nel quale i vertici vengono indicati con le lettere maiuscole, i lati con le minuscole, gli angoli con le lettere greche. Si noti che il vertice A sta di frote al lato a ed all'angolo α, che il vertice B sta di fronte al lato b ed all'angolo β, e che il vertice C sta di frote al lato c ed all'angolo γ. L'unita' di misura usata nel calcolo degli angoli è il grado a tal proposito si veda unità di misura degli angoli.
Relazioni fondamentali
Nella figura di sotto è rappresentata la circonferenza goniometrica. Il raggio della circonferenza goniometrica vale 1. Sia P un punto vincolato a percorrere la circonferenza in senso antiorario. Le coordinate del punto P sono rispettivamente cosσ e sinσ. L'ordinata del punto T è la tanx e l'ascissa del punto C è la cotσ. Per semplificare le notazioni, l'angolo "variabile" POH è stato indicato come angolo σ come già è stato spiegato in funzioni goniometriche.
Per definizione si ha quindi che: OP=1 PH=sinσ OH=cosσ ET=tanσ FD=cotσ
Considerato che il triangolo OHP è rettangolo, per il teorema di Pitagora si avrà HP2+OH2=1 ovvero sostituendo si ricava quella che viene chiamata la prima relazione fondamentale della trigonometria: (sinσ)2 + (cosσ)2=1. Si considerino i due triangoli OET e OPH, essi sono simili poiché sono entrambi triangoli rettangoli ed hanno un angolo in comune. Dalla similitudine ne consegue la seguente proporzione: PH:OH=OE:ET ovvero sinσ:cosσ=tanσ:1 da ciò si ricava quella che viene chiamata la seconda relazione fondamentale della trigonometria: tanσ=sinσ/cosσ. Si considerino i due triangoli OTE e OHP, essi sono simili poiché sono entrambi triangoli rettangoli ed hanno l'angolo POH uguale a ODF. I due triangoli sono simili da cui ne consegue la seguente proporzione: FD:FO=OH:PH ovvero =cotσ:1=cosσ:sinσ da ciò si ricava: cotσ=cosσ/sinσ, ovvero la cotangente è la funzione reciproca della tangente.
Relazioni in un triangolo rettangolo
Sempre nella figura di sopra, supponiamo di avere un triangolo rettangolo con angolo retto in A e con l'angolo γ uguale all'angolo σ della circonferenza goniometrica. I due triangoli ABC e HPO sono simili, poiché hanno due angoli uguali. I lati dei due triangoli sono quindi proporzionali e si possono scrivere la seguenti proporzioni: OP:PH=CB:AB ovvero, tenendo presente che il raggio della circonferenza trigonometrica è 1, 1:sinγ=a:c da cui sinγ=c/a da cui c=a*sinγ, generalizzando, un cateto è dato dal prodotto dell'ipotenusa moltiplicata per il seno dell'angolo opposto. Sempre per la similitudine dei due triangoli si può anche scrivere OP:OH=a:b ovvero 1:cosγ=a:b da cui cosγ=b/a da cui b=a*cosγ, generalizzando, un cateto è dato dal prodotto dell'ipotenusa moltiplicata per il coseno dell'angolo adiacente. Si può ancora scrivere PH:OH=AB:AC ovvero sinγ:cosγ=c:b da cui sinγ/cosγ=c/b ovvero dato che tanγ=sinγ/cosγ, tanγ=c/b da cui c=btanγ, generalizzando, un cateto è dato dal prodotto dell'altro cateto moltiplicato per la tangente dell'angolo opposto.
Si sono individuate quindi, le relazioni, riportate nelle prime due colonne, dalle quali si possono ricavare gli angoli in funzione dei lati, come riportato nelle ultime due colonne:
