I cinque postulati di Euclide


A1. Per due punti distinti passa una e una sola retta.

A2. La retta è un insieme ordinato di punti.

A3. Per un punto oassano infinite rette.

A4. Tutte le rette sono uguali.

A5. Se P è un punto non appartenente ad una retta r, allora esiste ed è unica la retta s passante per P e non avente punti in comune con la retta data r.

Euclide, a coloro che si accingono a studiare la sua geometria, chiede di assumere come veri cinque postulati, l'ultimo dei quali è un postulato di esistenza e unicità, tutt'altro che intuitivo poichè riguarda il concetto di parallelismo tra due rette. Euclide stesso, nelle sue dimostrazioni cercava di evitarlo il più possibile. Molti nel passato, tentarono di dimostrare la dipendenza del quinto postulato dai primi quattro, i loro sforzi però non risultarono inutili in quanto servirono ad aprire la strada alle geometrie non Euclidee.

Si definiscono geometrie "non Euclidee" quelle geometrieche, non accettando il quinto postulato, lo negano, proponendo in alternativa altri postulati.

Se si nega il V° postulato, in relazione all'esistenza si afferma che V°1: "Non esiste alcuna retta s passante per un punto P e parallela ad una prefissata retta r. In altre parole "ogni retta passante per P incontra sempre la prefissata retta r".

Se invece si nega il V° postulato in relazione all'unicità si afferma che V°2: "Esistono almeno due rette s', s'' passanti per il punto P e parallela alla prefissata retta r.

Un modello di geometria euclidea è fornito dagli enti primitivi che sono descritti nelle scuole inferiori ossia:

- il piano viene descritto come un ente geometrico simile ad un sottile foglio da disegno da pensare illimitato come estensione in tutte le direzioni e senza spessore.

- il punto, elemento del piano, viene descritto come un ente geometrico simile ad una minuscola macchia sul foglio da disegno, da essere così piccola da ridursi ad essere "senza parti" come diceva Euclide stesso.

- la retta, sottoinsieme del piano, viene descritta come un ente geometrico simile ad un sottilissimo segno tracciato con il righello sul foglio da disegno da rendere illimitata , nel senso della lunghezza e "senza parti", nel senso della larghezza. Gli enti primitivi, così descritti, costituiscono un modello di geometria euclidea, poichè soddisfano a tutti i postulati, compreso il quinto.