La geometria non euclidea di Lobačevskij

Questa geometria cancella il quinto postulato e pone al suo posto il postulato V°2 "Esistono almeno due rette s', s'' passanti per il punto P e parallela alla prefissata retta r", essa sarà non contradditoria se è possibile individuare un modello che soddisfi ai normali postulati scritti da Euclide più il postulato V°2. Il modello esiste e fu ideato da Klain. Come enti primitivi si hanno:

- Il piano di Klein costituito dalla superficie interna ad un qualunque cerchio.

- La retta di Klein costituita da una qualunque corda della circonferenza.

- Il punto di Klein costituito da un qualsiasi punto interno al cerchio.

Definizione: due rette di Klein sono incidenti se si intersecano in un punto di Klein.

Definizione: due rette di Klein sono parallele se non hanno alcun punto di Klein in comune, ma si incontrano su un punto localizzato sulla circonferenza.

Si può verificare che questi enti soddisfano ai primi quattro postulati di Euclide, mentre verificheremo se questo modello soddisfa al postulato V°2. Il postulato V°2 è verificato perchè fissato un punto P di Klein, si possono trovare due rette di Klein s', s'', passanti per P e parallele alla r. Ossia esistono due rette passanti per P e non aventi punti di Klein in comune con r che si definiscono quindi parallele.

Tutto questo ci consente di dire che la geometria di Lobačevskij è non contradditoria e pertanto valida. Per molti secoli si è ritenuto che la geometria di Euclide fosse l'unica adatta a descrivere il mondo che ci circonda, su di essa Galileo e Newton fondarono la fisica classica. Bisogna giungere ai primi del 1900 con la fisica relativisticae quantistica di Einstein, la fisica delle particelle che si muovono a velocità vicine a quella della luce (300000 Km/sec) per vedere notevoli applicazioni delle geometrie non euclidee e, in particolare la geometria di Riemann. In conclusione le tre geometrie di Euclide, Riemann e Lobačevskij, hanno ciascuna una loro validità e possibilità di applicazione in situazioni concrete del campo scientifico sia tecnico che tecnologico.