I connettivi logici fondamentali sono AND, OR, NOT. Ogni altro connettivo può essere derivato da questi. Ci proponiamo allora di dimostrare a titolo d'esempio, la derivabilità dell'implicazione logica e della disgiunzione esclusiva dai connettivi fondamentali. Nel procedere ci renderemo anche conto che i connettivi logici possono collegare tra di loro non solo proposizioni atomiche, ma anche proposizioni molecolari. E' quindi possibile produrre proposizioni via via più complesse. Consideriamo la proposizione ã ∨ n. Si osservi che il primo termine ã non è una proposizione atomica, ma la negazione della proposizione a. D'ora in poi ci si atterrà alla convenzione secondo cui l'operatore di negazione ha priorità sugli altri connettivi, va cioè considerato prima di ogni altro connettivo. Costruiamo la tavola di verità di ã ∨ n
| a | n | ã | ã ∨ n |
| V | V | F | V |
| V | F | F | F |
| F | V | V | V |
| F | F | V | V |
Se ora togliamo dalla tavola la terza colonna, che ci è servita solo come di passaggio intermedio otteniamo una nuova tabella che ha gli stessi valori di quella dell'implicazione a → n. Ciò dimostra l'equivalenza logica delle proposizioni ã ∨ n e a → n. D'altra parte, anche dal punto di vista del linguaggio comune le due proposizioni sono equivalenti.
| a | n | ã ∨ n |
| V | V | V |
| V | F | F |
| F | V | V |
| F | F | V |
Ad esempio l'affermazione "se piove andiamo al cinema" è vera quando (e solo quando) è vera la proposizione "non piove o andiamo al cinema". Mostriamo ora che la disgiunzione esclusiva EOR è equivalente alla proposizione (ã ∧ n) ∨ (a ∧ ñ) che, come si nota utilizza solo i tre connettivi fondamentali. Costruiamo la tavola di verità e, considerando solo la prima la seconda e l'ultima colonna, otteniamo la tavola di verità della disgiunzione esclusiva EOR.
| a | n | ã | ñ | ã ∨ n | a ∧ ñ | (ã ∧ n) ∨ (a ∧ ñ) |
| V | V | F | F | F | F | F |
| V | F | F | V | F | V | V |
| F | V | V | F | V | F | V |
| F | F | V | V | F | F | F |
La logica cerca di stabilire il valore di verità e la correttezza di un ragionamento, non in base alle verità di certe premesse, o al significato degli enunciati, ma in base alla applicazione corretta delle leggi matematiche della deduzione logica. Formalizzare un ragionamento significa scomporlo in enunciati semplici collegati dai connettivi logici. Portiamo l'esmpio di un ragionamento che intendiamo formalizzare dal punto di vista logico:
"Se il bilancio non subisce tagli, allora condizione necessaria e sufficiente affinchè i prezzi rimangano stabili è che le tasse vengano aumentate. Le tasse verranno aumentate solo se il bilancio non subisce tagli. Se i prezzi rimangono stabili allora le tasse non saranno aumentate. Quindi le tasse non verranno aumentate."
Se si volesse stabilire la correttezza del ragionamentofatto, solo in base ad una comprensione linguistica del testo, sarebbe alquanto difficile. Individuiamo le variabili proposizionali del testo:
a: "Il bilancio subisce tagli."
o: "I prezzi rimangono stabili."
n: "Le tasse vengono aumentate."
Traduciamo nel linguaggio simbolico della logica le diverse asserzioni che compongono il testo:
asserzione 1: Se il bilancio non subisce tagli condizione necessaria e sufficiente affinchè i prezzi rimangano stabili è che le tasse vengano aumentate
traduciamo l'asserzione 1: ã → (o ↔ n)
asserzione 2: Le tasse verranno aumentate solo se il bilancio non subisce tagli.
traduciamo l'asserzione 2: n → ã
asserzione 3: Se i prezzi rimangono stabili allora le tasse non saranno aumentate.
traduciamo l'asserzione 3: o → ñ
conclusione: Le tasse non verranno aumentate.
traduciamo la conclusione: ñ
La struttura logica del testo è data quindi dalla seguente espressione logica:
((ã → (o ↔ n)) ∧ (n → ã) ∧ (o → ñ)) → ñ
Per esaminare la correttezza della deduzione logica che caratterizza questo ragionamento, costruiamo la tavola di verità dell'espressione che, contenendo tre variabili proposizionali a, o, n sarà formata da 23=8 righe
| a | n | o | ã | o ↔ n | ã → (o ↔ n) | n → ã | ñ | o → ñ | (ã → (o ↔ n)) ∧ (n → ã) ∧ (o → ñ) | ñ |
| 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| 0 | 0 | 1 | 1 | 0 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 |
| 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 0 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | 1 |
| 1 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 1 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 | 1 | 0 | 1 |
| 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 0 | 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 |
Come si nota dall'ultima colonna della tabella di verità, si tratta di una tautologia, che è sempre vera per qualsiasi valore di verità che viene assegnato alle variabili proposizionali. A conclusione di questo esempio si può dire che il ragionamento, grazie alle leggo della logica simbolica, può essere trattato in espressioni algebriche e queste possono essere calcolate anche da un automa per il fatto che il calcolo proposizionale può essere meccanizzato.