I circuiti logici


I connettivi logici, riducendo all'essenziale la complessità del linguaggio comune, corrispondono ad operazioni logiche così semplici da poter essere eseguite anche da una macchina. Analizzeremo ora dei circuiti logici che sono alla base del funzionamento dei calcolatori elettronici, i circuiti logici che esamineremo costituiscono un vero e proprio modello fisico delle operazioni logiche fondamentali. Il circuito elettrico più semplice è costituito da un generatore di corrente, per esempio una pila, un filo metallico che collega i due poli del generatore, un utilizzatore di energia, per esempio una lampadina e un interruttore.

Consideriamo ora il circuito seguente:

Nella tabella di sotto, sono riportati i possibili stati in ingresso e i corrispondenti stati in uscita, tenendo presente che l'interruttore può essere aperto o chiuso e la lampadina accesa o spenta:

0 - stato chiuso/spento

1 - stato aperto/acceso

stato interrutore Astato interrutore Bstato lampadina
111
100
010
000

La tabella è identica alla tavola di verità del connettivo logico AND tenendo presente che:

Lo stato dell'interruttore A corrisponde allo stato della proposizione p e quello dell'interruttore B allo stato della proposizione q.

Lo stato della lampadina corrisponde allo stato della proposizione composta p ∧ q.

1 corrisponde al valore vero 0 al valore falso.

Il circuito logico con due interruttori in serie rappresenta dunque il connettivo logico ∧ e prende il nome di circuito logico AND.

Consideriamo ora il circuito seguente:

Gli interruttori A e B sono in parallelo, anche in questo caso abbiamo due segnali in ingresso e uno in uscita, affinchè il circuito sia chiuso, è sufficiente che uno dei due interruttori sia chiuso. Nella tabella di sotto, sono riportati i possibili stati in ingresso e i corrispondenti in uscita.

stato interrutore Astato interrutore Bstato lampadina
111
101
011
000

Anche questa tabella è identica a quella di un connettivo logico: la disgiunzione ∨ e prende il nome di circuito logico OR.


Si osservi il prossimo circuito:

Qui è presente un interuttore particolare, detto invertitore. Quando l'interruttore A è aperto passa corrente (nella figura di sinistra) e la lampadina è accesa. Quando l'interruttore A è chiuso non passa corrente (nella figura a destra)e la lampadina è spenta. In questo circuito si ha un segnale in ingresso ed uno in uscita e il secondo interruttore è dipendente dall'interruttore A poichè è trascinato da quest'ultimo. Questa volta la tavola del circuito è identica alla tavola di verità del connettivo logico NOT.


stato interrutore Astato lampadina
10
01

Il circuito con un interruttore invertitore rappresenta dunque il connettivo logico ¬P e prende il nome di circuito logico NOT

Lo schema sotto riprodotto riassume le relazioni tra operazioni logiche, operazioni insiemistiche e circuiti logici.


operazioni logicheoperazioni insiemistichecircuiti logici
ANDA ∩ B
p ∧ qintersezione
ORA ∪ B
p ∨ qunione
NOTÃ
¬ Pcomplementare

Sono comunque impiegate altre tre porte logiche: il NAND che può essere considerato come AND seguito da NOT, il NOR che può essere considerato come OR seguito da NOT e XOR che è OR "esclusivo" come riportato dallo schema sotto riprodotto.


operazioni logicheoperazioni insiemistichecircuiti logici
NANDcomplementare dell'intersezione
XORdifferenza simmetrica
NORcomplementare dell'unione

Esempi di circuiti logici e tavole di verità


1. Analizziamo il seguente circuito logico:

Corrisponde alla seguente proposizione molecolare: (¬p ∧ q) ∨ p.

Di seguito la corrispondente tavola di verità:

pq¬p¬p ∧ q¬p ∧ q ∨ p
VVFFV
VFFFF
FVVVV
FFVFV

2. Analizziamo il seguente circuito logico:

Corrisponde alla seguente proposizione molecolare: (¬p ∨ q) ∧ p.

Di seguito la corrispondente tavola di verità:

pq¬p¬p ∨ q(¬p ∨ q) ∧ p
VVFVV
VFFFF
FVVVF
FFVVF

3. Analizziamo il seguente circuito logico:

Corrisponde alla seguente proposizione molecolare: (p ∧ q) ∨ ¬q.

Di seguito la corrispondente tavola di verità:

pq¬p¬p ∨ q(¬p ∨ q) ∧ p
VVFVV
VFFFF
FVVVF
FFVVF

Attraverso la stesura delle tavole di verità si può verificare che le funzioni proposizionali corrispondenti alle leggi di de Morgan sono equiveridiche, cioè che valgono le seguenti uguaglianze:

1. ¬(p ∨ q) = ¬p ∧ ¬q

2. ¬(p ∧ q) = ¬p ∨ ¬q

Analizziamo la prima:

pqp ∨ q¬(p ∨ q)
VVVF
VFVF
FVVF
FFFV
pq¬p¬q¬p ∧ ¬q
VVFFF
VFFVF
FVVFF
FFVVV

Come si può notare le prime due colomnne e l'ultima colonna delle due tabelle corrispondono.


Analogamente si può verificare che anche le funzioni proposizionali corrispondenti alla proprietà distributiva sono equiveridiche:

(p ∨ q) ∧ r = (p ∧ r) ∨ (q ∧ r)