La geometria di Riemann, si basa su cinque postulati i primi quattro sono gli stessi della geometria euclidea il quinto è sostituito dal V°1: "Non esiste alcuna retta s passante per un punto P e parallela ad una prefissata retta r. In altre parole "ogni retta passante per P incontra sempre la prefissata retta r".
Vediamo ora quale modello fornì Riemann per dimostrare che la sua geometria non è contradditoria.
- il piano di Riemann è costituito da una qualunque superficie sferica.
- il punto di Riemann è costituito da un punto sulla superficie sferica.
- la retta di Riemann è costituito da una qualunque circonferenza massima.
Si potrebbe verificare che questi enti primitivi soddisfano ai primi quattro i postulati descritti da Euclide e al V°1.
Ad esempio il postulato "Per due punti del piano passa una e una sola retta", è soddisfatto? La risposta è si, perchè fissati due punti sulla sfera, è unica la retta di Riemann, ossia la circonferenza massima passante per i due punti.
Ad esempio il postulato "Per un punto del piano passano infinite rette" è soddisfatto? La risposta è si, perchè fissato un punto di Riemann ovvero un punto sulla sfera, allora per esso passano infinite rette di Riemann ovvero infinite circonferenze massime.
Ma ora esaminiamo se è soddisfatto il postulato V°1. E' soddisfatto perchè dati un punto e una retta di Riemann, ossia un punto sulla sfera e una circonferenza massima sulla sfera, ogni circonferenza massima che passa per il punto, interseca la circonferenza data. In conclusione non esiste alcuna retta di Riemann passante per un punto di Riemann e parallela a una prefissata retta di Riemann. Il modello proposto funziona e quindi la geometria di Riemann è "non contradditoria" e pertanto valida.