Servendosi della definizione di limite , verificare che si ha:

Per la definizione di limite si ha che:

 ∀ ε > 0, ∃ V(x₀): ∀ x ∈ V-x₀, (x∈A), ⇒ |3x-1-5|  < ε

e questa disequazione con il valore assoluto equivale al seguente sistema composto da due disequazioni Risolvere un sistema equivale a trovare le soluzioni in comune alle due disequazioni. Lo facciamo con l'ausilio del seguente grafico che permette facilmente di trovare l'intersezione delle due soluzioni, nella terza riga.

La soluzione risulta un intorno centrato del punto 2.

Calcolare il seguente limite:

Sostituendo, otteniamo infinito sia al numeratore che al denominatore, per cui si tratta di una forma indeterminata. Innanzitutto raccogliamo i fattori di grado massimo sia al numeratore che all'interno della radice:

Trasportiamo fuori dal segno della radice x² ottenendo |x|. Poichè x tende a meno infinito possiamo supporre che x sia negativo per cui |x|=-x, sostituiamo e otteniamo:

Raccogliamo quindi la x al denominatore e la semplifichiamo con la x del numeratore. Per x tendente a meno infinito il numeratore tende a 8 ed il denominatore a 1+1 cioè 2, in conclusione il limite vale 8/2 ovvero 4.

Calcolare il seguente limite:

Calcoliamo separatamente il limite del numeratore ed il limite del denominatore in quanto il limite di un rapporto è uguale al rapporto dei limiti, per fare questo sostituiamo alla variabile x il valore 2:

Il limite è quindi una forma indeterminata del tipo 0/0. Il valore 2 annulla sia il numeratore che il denominatore e quindi per il teorema di Ruffini sia il numeratore che il denominatore sono divisibili per x-2 per cui possiamo raccogliere, sia al numeratore che al denominatore, il fattore x-2.

scomponiamo quindi in fattori:

e dopo aver semplificato, risostituiamo alla x il valore 2:

Tenendo conto del risultato ottenuto e tenendo conto che il valore 2 non appartiene al dominio della funzione, si può dire "volgarmente" che nel punto (2,5) la funzione ha un "buco" o meglio, che si tratta di un punto di discontinuità di terza specie.

Calcolare il seguente limite:

Calcoliamo separatamente il limite dei due addendi in quanto il limite di una somma è uguale alla somma dei limiti:

Sostituiamo alla variabile x +∞ Il limite dato è quindi una forma indeterminata del tipo ∞/∞.

La funzione di cui dovremo calcolare il limite la scriviamo in modo che compaia la somma delle radici invece che la differenza

Se x tende a +∞ il denominatore della funzione risulta ora essere +∞ e quindi 5/∞=0.

Calcolare il seguente limite:

Calcoliamo separatamente il limite del numeratore ed il limite del denominatore in quanto il limite di un rapporto è uguale al rapporto dei limiti:

Il limite è quindi una forma indeterminata del tipo 0/0.

Teniamo conto della relazione:

Sostituiamo e teniamo conto del limite notevole:

Raccogliamo x sia al numeratore che al denominatore e quindi semplifichiamo. Rifacciamo i calcoli, sfruttando il limite notevole:

Tenendo conto del risultato ottenuto e tenendo conto che il valore 0 non appartiene al dominio della funzione, si può dire che il punto (0,3/2) è un punto di discontinuità di terza specie.

Calcolare il seguente limite:

Teniamo conto del limite che dà per risultato il numero di Nepero:

Per sfruttare il limite notevole dobbiamo sostituire -2/x con 1/t. Passando ai reciproci si ha -x/2=t da cui x=-2t. Sostituendo otteniamo quindi:

1. S=2πr²+2πrh

2. V= πr²h  da cui

3. h=V/πr² sostituendo h nella 1. in modo che la superficie sia funzione del solo raggio otteniamo:

S(r)=2πr²+2πrV/πr² semplificando S(r)=2πr²+2V/r eseguiamo la derivata rispetto ad r 

S'(r)=4πr-2V/r²  poniamo la derivata uguale a zero: 4πr-2V/r²=0 risolviamo l'equazione così ottenuta (4πr³-2V)/r²=0 essendo r ≠ 0  →  4πr³-2V=0 da cui: r=³√2V/4π

sostituendo troviamo nella 3.il relativo h:

h=V/π(³√2V/4π)² ovvero semplificando h=³√4V/π

confrontiamo h con r calcolando il loro rapporto:

h/r=(³√4V/π)/(³√2V/4π) = ³√8 = 2

ciò significa che il cilindro con superfice minima é quello che ha l'altezza doppia del raggio ovvero l'altezza uguale al diametro.

Da un cartoncino quadrato come in figura 1, vogliamo ricavare una scatola , ma in che modo? Innanzitutto ritagliando agli angoli quattro quadrati in modo da ottenere un cartoncino della forma della figura 2, il quadrato che si nota in figura 3 costituirà il fondo della scatola, mentre le pareti della scatola si otterranno piegando perpendicolarmente al piano d'appoggio, i quattro rettangoli, in modo da ottenere una scatola a base quadrata che si reggerà saldando i bordi con del nastro adesivo. In che consiste il problema? Vogliamo ritagliare i quattro quadrati in modo che la scatola abbia volume massimo. Supponiamo che il lato del cartoncino di figura 1 abbia una lunghezza "l" e i quattro quadrati che dobbiamo ritagliare abbiano il lato di lunghezza incognita "x". L'incognita x ovviamente, potrà variare tra zero e la metà della lunghezza del lato del quadrato di figura 1. La base della scatola sarà quindi un quadrato di lato l-2x l'altezza, invece corrisponde a "x". Il volume della scatola, che è un parallelepipedo, si calcola moltiplicando l'area di base per l'altezza:

moltiplicando e riordinando rispetto al grado dell'incognita x otteniamo:

eseguiamo la derivata rispetto all'incognita "x":

se poniamo la derivata uguale a zero per determinare i possibili punti di massimo o minimo relativo della funzione "V(x)" troviamo un'equazione di secondo grado il cui discriminante è:

otteniamo così due soluzioni:

Per la data funzione, determinare il rapporto incrementale in funzione del generico punto x, e dell'incremento h, calcolare il rapporto incrementale nel caso in cui il punto iniziale sia -1 e l'incremento sia 2, calcolare la funzione derivata applicando la definizione, calcolare la derivata nel punto x₀=1, determinare l'equazione della retta tangente alla curva nel punto x₀=-1

Il rapporto incrementale generico che dipende sia dal punto iniziale x, sia dal tipo di incremento, è dato dalla seguente espressione:

La funzione calcolata nel punto x+h assume la seguente espressione:

Calcoliamo il rapporto incrementale della funzione data:

Sviluppando otteniamo:

Semplificando i monomi simili e raccogliendo h otteniamo:

Semplificando h otteniamo che il rapporto incrementale è dato da:

Per calcolare il rapporto incrementale nel punto -1, con incremento 2, bisogna sostituire questi due valori. Otteniamo quindi R(-1,2)=3(-1)²+3(-1)2+2²-2=3-6+4-2=-1. Il valore così trovato, -1, rappresenta il coefficiente angolare della retta secante la curva nei punti (-1,1) e (1,3).

Per individuare la funzione derivata bisogna calcolare il limite per h tendente a zero del rapporto incrementale:

Per calcolare il valore che la funzione derivata assume nel punto 1, sostituiamo alla x questo valore, pertanto f'(-1)=3-2=1. Il valore così ottenuto rappresenta il coefficiente angolare della retta tangente la funzione nel punto (-1;1). Per trovare l'equazione della tangente alla funzione nel punto dato, scriviamo l'equazione del fascio di rette di centro: y-y₀=m(x-x₀) e sostituendo a y₀ il valore -1, a x₀ 1 e ad m il valore 1, otteniamo l'equazione della retta tangente la funzione nel punto dato: y-1=(x+1), ovvero: y=x+2

Per determinare il dominio della funzione razionale basta valutare per quali valori si annulla il denominatore, nel caso specifico bisogna risolvere l'equazione: x²+4x-5=0. Il discriminante dell'equazione è positivo cioè 36 per cui l'equazione ha le due soluzioni 1, -5. Il dominio è dunque l'insieme R dei numeri reali esclusi i due valori 1 e -5. Sulle verticali condotte da 1 e -5 non c'è funzione, da cui x=1, e x=-5 costituiscono due asintoti verticali della funzione stessa. Per determinare altri eventuali asintoti si esegue ora la divisione tra numeratore e denominatore. Essendo il numeratore di terzo grado ed il denominatore di primo grado il quoziente della divisione è di primo grado.

La nostra funzione è quindi esprimibile come somma di una retta y=x-4 ed un altra funzione razionale che tende a zero quando x tende ad infinito in quanto il grado del resto della divisione è sempre minore del grado del quoziente. La retta y=x-4 costituisce quindi un'asintoto obliquo per la funzione.

Tenendo presenti i segni dei due fattori che si trovano al numeratore ed il segno del denominatore, otteniamo, nella quarta riga, il segno della nostra funzione che serve a delimitare le "strisce" di piano entro cui si sviluppa la funzione.

Per quanto riguarda le intersezioni con gli assi mettendo a sistema la nostra funzione con y=0 che rappresenta l'asse delle ascisse e poi con x=0 che rappresenta l'asse delle ordinate e risolvendo i due sistemi, con semplici calcoli otteniamo i seguenti tre punti ((-2;0) (2;0) (0;0).

A questo punto ci chiediamo quali sono i limiti significativi che potranno aiutarci a tracciare il grafico della funzione. Tenendo presente che una funzione razionale è definita per ogni valore reale tranne che per quei valori dove il denominatore si annulla, andranno calcolati i limiti della funzione per x tendente all'infinito e i limiti per x che tende a 1 e -5 che sono i due punti dove la funzione non è definita. Sostituendo alla x il valore infinito ci si trova però in un caso indeterminato.

Per "togliere" tale indeterminazione si raccoglie il monomio di grado più elevato, in questo caso x³, sia al numeratore che al denominatore, si semplifica quindi x³ e ciò che rimane, ovvero 1/0, vale infinito.

Per valutare poi se il limite è piu infinito o meno infinito, andiamo a vedere il grafico dello studio del segno per cui:

Tutto ciò concorda con il fatto che la funzione ha per asintoto una retta obliqua crescente. Rimangono ancora da calcolare i limiti per x tentente a 1 e -5 che sono i punti che non appartengono al campo di esistenza della funzione. Sostituendo i due valori alla x otteniamo il caso -3/0 e -5/0 che danno infinito, per valutare poi se il limite è piu infinito o meno infinito, andiamo a vedere il grafico dello studio del segno per cui:

• attenzione!
• grafico

Per determinare il dominio della funzione razionale basta valutare per quali valori si annulla il denominatore, nel caso specifico bisogna risolvere l'equazione: x²-3x+2=0. Il discriminante dell'equazione è positivo cioè 1 per cui l'equazione ha le due soluzioni 1, 2. Il dominio è dunque l'insieme R dei numeri reali esclusi i due valori 1 e 2. Sulle verticali condotte da 1 e 2 non c'è funzione, da cui x=1, e x=2 costituiscono due asintoti verticali della funzione stessa. Per determinare altri eventuali asintoti si esegue ora la divisione tra numeratore e denominatore. Essendo numeratore e denominatore di secondo grado il quoziente della divisione è di grado zero ovvero una retta orizzontale non corrispondente all'asse delle ascisse.

La nostra funzione è quindi esprimibile come somma di una retta y=2 ed un altra funzione razionale che tende a zero quando x tende ad infinito in quanto il grado del resto della divisione è sempre minore del grado del quoziente. La retta y=2 costituisce quindi un'asintoto orizzontale per la funzione.

Passiamo a studiare come varia il segno della funzione. Notiamo che il numeratore ed il denominatore sono le due parabole y=2x² e y=x²-3x+2 i cui grafici sono riportati nelle figure 1 e 2.

A questo punto ci chiediamo quali sono i limiti significativi che potranno aiutarci a tracciare il grafico della funzione. Tenendo presente che una funzione razionale è definita per ogni valore reale tranne che per quei valori dove il denominatore si annulla, andranno calcolati i limiti della funzione per x tendente all'infinito e i limiti per x che tende a 1 e 2 che sono i due punti dove la funzione non è definita. Sostituendo alla x il valore infinito ci si trova però in un caso indeterminato. Per "togliere" tale indeterminazione si raccoglie il monomio di grado più elevato, in questo caso x², sia al numeratore che al denominatore, si semplifica quindi x² e ciò che rimane, è 2/1.

Tutto questo concorda con il fatto che la funzione ha nella retta y=2 un asintoto orizzontale

Rimangono ancora da calcolare i limiti per x tentente a 1 e 2 che sono i punti che non appartengono al campo di esistenza della funzione. Sostituendo i due valori alla x otteniamo il caso 2/0 e 8/0 che danno infinito, per valutare poi se il limite è piu infinito o meno infinito, andiamo a vedere il grafico dello studio del segno per cui:

Calcoliamo la funzione derivata. Si tratta di calcolare la derivata di un rapporto ovvero si applica la seguente formula:

• attenzione!
• grafico

Studiare la funzione y=x⁴/4-x³/3 Il dominio è tutto R, la funzione non ammette asintoti orizzontali nè verticali nè obliqui Si ha y'=x³-x²=x²(x-1) da cui per x>1 la funzione cresce, per x<1 la funzione decresce il punto x=1 è minimo relativo ed è f(1)=-1/12. Calcoliamo la derivata seconda: y''=3x²-2x per cui per x<0 , x>2/3 la curva volge la concavità verso l'alto, per 0 < x < 2/3 la curva volge la concavità verso il basso, nei punti x=0 e x=2/3 si hanno due flessi ed è f(0)=0, f(2/3)=-4/81

• attenzione!
• grafico