Storicamente l'operazione di modulo è nata per utilizzare i resti. Sempre legato all'orologio analogico un altro esempio potrebbe essere il seguente: trasformare 95 minuti in ore e minuti. Il quoziente della divisione intera ci darà il numero di ore, ma il resto della divisione per 60 ci dà il numero dei minuti, 95 min corrispondono quindi ad 1h e 35 minuti. In questo caso 95 equivale a 35 modulo 60. Altri esempi di applicazione dei moduli è la trigonometria dove, se l'unità di misura è espressa in gradi, allora la misura degli angoli è in modulo 360. Per questi ed altri motivi ancora, possiamo pensare anche ad un orologio con un numero qualsiasi di ore, indicheremo questo insieme con il simbolo Z_n lo chiameremo classi di resti modulo n.

Definizione: siano x e y due interi e m∈N: m≥0. Si dice che x e y sono congruenti modulo n, in simboli a ≡ b se n divide x-y .

In altre parole, possiamo dire che x è congruente a y modulo m se x e y differiscono per un multiplo di m, cioè x ≡ y se m divide(x-y), ovvero se esiste un p∈Z tale che x-y = pm, ovvero x = y+pm, con p∈Z.

In particolare possiamo affermare che m divide x è come dire che x è congruente a 0 (basta porre y=0 nelle equivalenze sopra).

Quindi se nell'insieme degli interi è definita una relazione di equivalenza modulo n, avremo un insieme quoziente costituito da n classi di equivalenza, ovvero tante quanti sono i possibi resti della divisione per n (da n-1 a 0). Come rappresentante della classe di equivalenza si pone il più piccolo della classe, ma le operazioni non cambiano se si pone uno qualsiasi dei rappresentanti della classe di equivalenza

Definizioni

Si chiama legge di composizione interna in un insieme A, un'applicazione di A×A→A, dove con A×A si intende il prodotto cartesiano di A per A. In altre parole una legge di composizione interna in un insieme A è una legge che associa ad ogni coppia ordinata di elementi di A un elemento di A stesso. Si dice che l'insieme A è dotato di struttura algebrica se in A sono definite una o più leggi di composizione.

Per esempio con A(+,*) si indicherà la struttura algebrica con elementi in A e le due leggi di composizione interne somma e prodotto. Con Z₈(⊕,⊗), si indicherà la struttura algebrica definita nell'insieme {0,1 2,3,4,5,6,7,8} e con le due operazioni di somma e prodotto in modulo 8.

Proprietà

Unicità dell'elemento neutro

Se A possiede un elemento neutro, esso è unico. Supponiamo per assurdo che esistano due elementi neutri e ed e' distinti. Essendo e elemento neutro avremo: e*e' = e'*e = e' Inoltre se e' è elemento neutro avremo: e'*e = e*e' = e per cui dovrà essere e = e' Pertanto è impossibile che esistano due elementi neutri tra loro distinti

Strutture algebriche

Monoide: è dotato da un'unica legge di composizione interna avente la proprietà associativa

Gruppo: è un monoide dotato di elemento neutro e simmetrico per ogni elemento

Gruppo commutativo: è un gruppo in cui la legge di composizione interna è commutativa

Anello: è dotato di due leggi di composizione interne, rispetto alla prima legge di composizione è un gruppo commutativo, la seconda legge è dotata di proprietà associativa, possiede elemento neutro, ed è distributiva rispetto alla prima

Corpo: è un anello che ha simmetrico per ogni elemento escluso l'elemento neutro della prima legge di composizione

Campo: corpo commutativo

Esistenza del reciproco e legge anullamento del prodotto

Dimostreremo che queste due proprietà sono collegate tra di loro ovvero se esiste reciproco per ogni elemento allora vale la legge di anullamento del prodotto. Le due leggi di composizione interne sono indicate come somma e prodotto con i rispettivi elementi neutri 0 e 1. Supponiamo che a*b=0 e che ci sia reciproco per ogni elemento, quindi se a≠0 allora esiste a' tale che a*a' = a'*a = 1, moltiplichiamo entrambi i membri dell'uguaglianza a*b=0 per a': a'*a*b=0*a' → 1*b=0 → b=0 Quindi, c'è una stretta relazione tra l'esistenza del reciproco e la legge di anullamento del prodotto.

Cosa succede quando n è numero primo   

Dall'analisi della tabella della somma modulo 7 si può notare che 1 è opposto di 6, 2 è opposto di 5, 3 è opposto di 4, quindi ogni elemento ha l'opposto ovvero l'inverso rispetto alla somma. Rispetto alla somma la struttura algebrica delle classi di resti modulo n è, in ogni caso, gruppo abeliano. Quando si considera pure la moltiplicazione, la struttura algebrica delle classi di resti modulo n dipende dal fatto che n sia o no un numero primo. Dall'analisi della tabella del prodotto modulo 7 si può notare che 1 è reciproco di se stesso, 2 è reciproco di 4, 3 è reciproco di 5, 6 è reciproco di se stesso, quindi ogni elemento ha reciproco ovvero, l'inverso rispetto al prodotto. Quando n è numero primo, le classi di resti modulo n assumono la struttura di campo.

Analizziamo anche le tabelle della sottrazione e della divisione modulo 7. Per sottrarre un numero, si può pensare di sommare l'opposto di quel numero. Notiamo pure che, per dare un senso alla divisione abbiamo usato l'operazione modulo 7 (7 è un numero primo) e quindi abbiamo pensato la divisione per un numero come il prodotto per il reciproco del numero stesso.