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Serie di Fibonacci
Serie di Fibonacci
Leonardo Pisano (1180-1250) più noto come Fibonacci o fillio Bonacci era figlio di un mercante, a sua volta soprannominato Bonaccio, che commerciava nel Mediterraneo. Leonardo visse fin da piccolo nei paesi arabi e apprese i principi dell'algebra, dai maestri di Algeri, cui era stato affidato dal padre. E' uno dei personaggi più importanti del medioevo per aver contribuito in maniera determinante a trasmettere in occidente metodi algebrici arabi.
Nel Liber abaci, che è l'opera più conosciuta del Fibonacci, oltre alla descrizione dei nove simboli delle cifre assieme al segno 0, viene presentata l'idea che aritmetica e geometria sono interconnesse e si sostengono l'una con l'altra. Alcuni problemi proposti in questo famoso libro sono così interessanti da essere usati ancora oggi. Senza dubbio quello che ha ispirato di più i matematici è il problema che dà origine alla famosa serie.
Nel 1223 a Pisa, l'imperatore Federico II di Svevia, fu spettatore ad una singolare gara tra abachisti e algoritmisti, armati soltanto di carta, penna e pallottoliere. In quella gara si dimostrò che col metodo posizionale indiano, appreso dagli arabi, si poteva calcolare più velocemente di qualsiasi abaco. Il problema era il seguente: Quante coppie di conigli si ottengono in un anno, supponendo che ogni coppia dia alla luce un'altra coppia ogni mese e che le coppie siano in grado di riprodursi al secondo mese di vita? Fibonacci risolse il problema e vinse la gara.
| mesi | neonate | produttive | totale |
| 1 | 1 | 0 | 1 |
| 2 | 0 | 1 | 1 |
| 3 | 1 | 1 | 2 |
| 4 | 1 | 2 | 3 |
| 5 | 2 | 3 | 5 |
| 6 | 3 | 5 | 8 |
| 7 | 5 | 8 | 13 |
| 8 | 8 | 13 | 21 |
| 9 | 13 | 21 | 34 |
| 10 | 21 | 34 | 55 |
| 11 | 34 | 55 | 89 |
| 12 | 55 | 89 | 144 |
Nella tabella troviamo la risposta al problema proposto.
Nella prima colonna sono riportati i mesi dell'anno, nella seconda colonna il numero di coppie neonate, nella terza il numero di coppie produttive, nella quarta il numero totale di coppie mese per mese. Al primo mese abbiamo una sola coppia di conigli neonata, che non è produttiva, il totale delle coppie è uno. Al secondo mese non c'è alcuna coppia neonata, però la coppia neonata del mese precedente è diventata fertile.
Per i mesi successivi si osservi che: il numero di coppie neonate corrisponde con il numero di coppie produttive del mese precedente. Il numero di coppie produttive corrisponde con il numero totale di coppie del mese precedente. Il numero totale di coppie è la somma del numero di coppie neonate con il numero di coppie produttive dello stesso mese.
Dalla osservazione dell'ultima colonna si può notare che il numero delle coppie di conigli è, per ogni mese, la somma del numero totale di coppie dei due mesi precedenti. La risposta al problema quindi, è che, dopo un anno, ci saranno quindi 144 coppie di conigli.
La tabella può essere costruita con il foglio elettronico inserendo solo quattro formule. Il problema proposto però non rispecchia la realtà. Non è prevista infatti la morte dei conigli o che, ad un certo punto della loro vita, le coppie di conigli cessino di essere fertili, pur continuando a vivere, o che diventino produttive dopo un certo numero di mesi di vita.
| mesi | mesi di vita compiuti | totale | |||||||
| 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | ||
| 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 |
| 2 | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 |
| 3 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 |
| 4 | 1 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 2 |
| 5 | 1 | 1 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | 3 |
| 6 | 1 | 1 | 1 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 | 4 |
| 7 | 2 | 1 | 1 | 1 | 0 | 0 | 1 | 0 | 6 |
| 8 | 2 | 2 | 1 | 1 | 1 | 0 | 0 | 1 | 8 |
| 9 | 3 | 2 | 2 | 1 | 1 | 1 | 0 | 0 | 10 |
| 10 | 5 | 3 | 2 | 2 | 1 | 1 | 1 | 0 | 15 |
| 11 | 6 | 5 | 3 | 2 | 2 | 1 | 1 | 1 | 21 |
| 12 | 8 | 6 | 5 | 3 | 2 | 2 | 1 | 1 | 28 |
Nella tabella, si vuol visualizzare un affinamento del problema proposto a Fibonacci.
Dall'analisi della prima riga, anche in questo problema si parte con una sola coppia neonata di conigli. Ogni singola coppia è in grado di riprodursi dal terzo mese, rimane fertile fino al quinto mese e muore alla fine del settimo mese.
Nella prima colonna ci sono i mesi trascorsi, nella seconda il numero delle coppie neonate, nella terza le coppie che hanno compiuto un mese di vita, nella quarta le coppie che hanno compiuto due mesi di vita, nella quinta le coppie che hanno compiuto tre mesi di vita, nella sesta le coppie che hanno compiuto quattro mesi di vita, nella settima le coppie che hanno compiuto cinque mesi di vita, nella ottava le coppie che hanno compiuto sei mesi di vita, nella nona le coppie che hanno compiuto sette mesi di vita, nella decima colonna il numero totale di coppie in vita in quel periodo.
Il numero delle coppie neonate che si trova nella seconda colonna, in particolare, è ottenuto sommando le coppie dalla quarta alla settima colonna del mese precedente.
La serie di Fibonacci si può ricavare dal triangolo di Tartaglia sommando i numeri delle diagonali come evidenziate nella figura: così dalla prima riga otteniamo 1, dalla seconda ancora 1, poi 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55,...
| 1 | ||||||||||||||||||
| 1 | 1 | |||||||||||||||||
| 1 | 2 | 1 | ||||||||||||||||
| 1 | 3 | 3 | 1 | |||||||||||||||
| 1 | 4 | 6 | 4 | 1 | ||||||||||||||
| 1 | 5 | 10 | 10 | 5 | 1 | |||||||||||||
| 1 | 6 | 15 | 20 | 15 | 6 | 1 | ||||||||||||
| 1 | 7 | 21 | 35 | 35 | 21 | 7 | 1 | |||||||||||
| 1 | 8 | 28 | 56 | 70 | 56 | 28 | 8 | 1 | ||||||||||
| 1 | 9 | 36 | 84 | 126 | 126 | 84 | 36 | 9 | 1 |
La sezione aurea di un segmento viene definita come quella parte media proporzionale fra l'intero segmento e la parte rimanente
Si ritiene quindi che il rettangolo ideale sia quello che ha il lato maggiore medio proporzionale tra la somma dei due lati e il lato minore, ovvero se indichiamo con x il lato minore e y il lato maggiore la proporzione che ne consegue è la seguente: x+y:y=y:x. Quindi (x/y)+(y/y)=(y/x) ovvero (x/y)+1=(y/x). Se poniamo y/x=n otteniamo: (1/n)+1=n e moltiplicando per n otteniamo 1+n=n2. Quella scritta è l'equazione di secondo grado n2 -n -1 = 0, che fornisce due valori di cui uno è negativo e quindi non può essere acettato come rapporto di due segmenti e l'altro è l'esatto valore: (1+√5)/2. Il numero così ottenuto è il numero irrazionale 1,618...chiamato coefficiente aureo.
| 2/1 | 2 |
| 3/2 | 1,5 |
| 5/3 | 1,666... |
| 8/5 | 1,6 |
| 13/8 | 1,625 |
| 21/13 | 1,61538... |
| 34/21 | 1,61905... |
| 55/34 | 1,61765... |
| 89/55 | 1,61818... |
| 144/89 | 1,61798 |
| 233/144 | 1,61806... |
Parlando della sequenza di Fibonacci, non si può non trattare anche della sezione aurea. Da sempre in filosofia, in matematica, ma soprattutto nella storia dell'arte, ci si è chiesto quale fosse la maniera più bella per dividere un segmento o quale rettangolo avesse le proporzioni piu "belle". Ci sono molti esempi in architettura di edifici famosi che hanno la pianta o la facciata che è un rettangolo con queste proporzioni. Botticelli, Leonardo da Vinci avevano una fissazione per la sezione aurea. Il famoso quadro della Gioconda è suddiviso in rettangoli con le proporzioni auree. L'uomo vitruviano ha il rapporto tra l'altezza uomo e l'altezza ombelico pari al coefficiente aureo. Oggi i bancomat, le carte di credito e varie tessere che teniamo nel portafoglio sono rettangoli nei quali dividendo la misura del lato maggiore per la misura del lato minore otteniamo il coefficiente aureo. Cosa c'entra la sezione aurea con i numeri di Fibonacci? Il rapporto fra due numeri di Fibonacci consecutivi, con l'alzarsi dei numeri, tende ad approssimare sempre di più il coefficiente aureo. La tabella mostra l'evolversi dei rapporti fra numeri di Fibonacci consecutivi. Bastano anche solo i primi 10 numeri di Fibonacci per avere un rapporto aureo approssimato già a tre cifre decimali.
Ecco invece dove appare la sezione aurea in natura. Se si prova a sottrarre dal rettangolo di partenza un area pari al quadrato generato dal lato minore, si otterrà un nuovo rettangolo ancora una volta in proporzione aurea; togliendo ancora un quadrato dal rettangolo, si otterrà un rettangolo più piccolo ma sempre con la proporzione aurea. Proseguendo con lo stesso procedimento, si otterranno dunque una serie di rettangoli sempre più piccoli, ma tutti simili. In figura si vede la spirale formata dalla scia d'acqua conseguente al movimento della testa della ragazza. Se disponiamo i rettangoli creati col procedimento prima descritto e tracciamo un arco di cerchio avente per raggio il lato del quadrato, la figura che si ottiene è una spirale logaritmica.
La spirale logaritmica è quindi strettamente legata ai numeri di Fibonacci. L'accrescimento biologico di alcune specie, la disposizione dei petali in alcuni tipi di fiori e dei semi del girasole, pigne, ananas, presentano schemi riconducibili a quello della serie di Fibonacci. I gusci di alcuni molluschi hanno sezioni come una perfetta spirale logaritmica. Per questo ed altri motivi la sezione aurea è sempre stata considerata l'espressione matematica della bellezza e dell'armonia della natura.
Si consideri che, nella figura di sotto, i segmenti rappresentano delle strade. Vogliamo conteggiare il numero di percorsi che mi permettono, partendo dallo start e andando sempre in avanti, di arrivare ad un certo punto. Al punto 1 posso arrivare attraverso un unico percorso. Al punto 2 pure. Al punto 3 posso arrivare o da 2 o da 1 quindi in 2 modi diversi. Al punto 4 posso arrivare o passando per 2 o passando per 3 quindi in 3 modi diversi. Come si può notare, più in generale, posso arrivare ad un certo punto attraversando i due punti precedenti e quindi nel conteggio devo fare la somma dei percorsi che mi permettono di arrivare ai due punti precedenti, quindi 1, 1, 2, 3, 5, 8 .... ritrovo così i numeri di Fibonacci.
